基于C语言的Q格式使用详解

用过DSP的应该都知道Q格式吧;

目录

1 前言

Q格式是二进制的定点数格式,相对于浮点数,Q格式指定了相应的小数位数和整数位数,在没有浮点运算的平台上,可以更快地对浮点数据进行处理,以及应用在需要恒定分辨率的程序中(浮点数的精度是会变化的);需要注意的是Q格式是概念上小数定点,通过选择常规的二进制数整数位数和小数位数,从而达到所需要的数值范围和精度,这里可能有点抽象,下面继续看介绍。

2 Q数据的表示

2.1 范围和精度

定点数通常表示为\(Q_{m.n}\),其中m为整数个数,n为小数个数,其中最高位位符号位并且以二进制补码的形式存储;

  • 范围:\([-(2^{m-1}),2^{m-1}-2^{-n}]\)
  • 精度:\(2^{-n}\)

无符号的用\(UQ_{m.n}\)表示;

  • 范围:\([0,2^m-2^{-n}]\)
  • 精度:\(2^{-n}\)

2.2 推导

无符号Q格式数据的推导
这里以一个16位无符号整数为例,\(UQ_{9.7}\)所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示;


所以不难看出,\(UQ_{9.7}\)的范围大小和精度;
根据等比数列求和公式得到,整数域最大值如下:

\[Sumi = 2^8+2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0 = 2^9 -1 \]

小数域最大值如下:

\[Sumf = 2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+2^{-5}+2^{-6}+2^{-7}=1-2^{-7} \]

因此\(UQ_{9.7}\)的范围满足 \([0,2^9-2^{-7}]\)

有符号Q格式数据的推导
这里以一个16位有符号整数为例,\(UQ_{9.7}\)所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示;


所以不难求出,\(UQ_{9.7}\)的范围大小和精度;
根据等比数列求和公式得到,整数域最大值如下:

\[Sumi = 2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0 = 2^8 -1 \]

小数域最大值如下:

\[Sumf = 2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+2^{-5}+2^{-6}+2^{-7}=1-2^{-7} \]

因此\(Q_{9.7}\)最大能表示的数为: \(2^8-2^{-7}\)

\(Q_{9.7}\)所能表示的最小数据的二进制形式如下图所示;


可以从图中看到,该数表示为\(-2^8\)

补充一下:负数在计算机中是补码的形式存在的,补码=反码+1,符号位为1则表示为负数;
那么-4该如何表示呢?
8 bit数据为例,如下所示;
原码:0B 0000 100
反码:0B 1111 011
补码:0B 1111 100

综上,可以得到有符号\(Q_{9.7}\)的范围是:\([-2^8,2^8-2^{-7}]\)

3 Q数据的运算

3.1 0x7FFF

最大数的十六进制为0x7FFF,如下图所示;

3.2 0x8000

最小数的十六进制为0X8000,如下图所示;


上述这两种情况,下面都会用到。

3.3 加法

加法和减法需要两个Q格式的数据定标相同,即\(Q_{m_1.n_1}\)\(Q_{m_2.n_2}\)满足以下条件;

\[\begin{cases} m_1 = m_2 \\ n_1 = n_2 \end{cases}\]

int16_t q_add(int16_t a, int16_t b)
{
    return a + b;
}

上面的程序其实并不安全,在一般的DSP芯片具有防止溢出的指令,但是通常需要做一下溢出检测,具体如下所示;

int16_t q_add_sat(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t tmp;

    tmp = (int32_t)a + (int32_t)b;
    if (tmp > 0x7FFF)
        tmp = 0x7FFF;
    if (tmp < -1 * 0x8000)
        tmp = -1 * 0x8000;
    result = (int16_t)tmp;

    return result;
}

3.4 减法

类似于加法的操作,需要相同定标的两个Q格式数进行相减,但是不会存在溢出的情况;

//https://great.blog.csdn.net/
int16_t q_sub(int16_t a, int16_t b)
{
    return a - b;
}

3.5 乘法

乘法同样需要考虑溢出的问题,这里通过sat16函数,对溢出做了处理;

//https://great.blog.csdn.net/
// precomputed value:
#define K   (1 << (Q - 1))
 
// saturate to range of int16_t
int16_t sat16(int32_t x)
{
	if (x > 0x7FFF) return 0x7FFF;
	else if (x < -0x8000) return -0x8000;
	else return (int16_t)x;
}

int16_t q_mul(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t temp;

    temp = (int32_t)a * (int32_t)b; // result type is operand's type
    // Rounding; mid values are rounded up
    temp += K;
    // Correct by dividing by base and saturate result
    result = sat16(temp >> Q);

    return result;
}

3.6 除法

//https://great.blog.csdn.net/
int16_t q_div(int16_t a, int16_t b)
{
    /* pre-multiply by the base (Upscale to Q16 so that the result will be in Q8 format) */
    int32_t temp = (int32_t)a << Q;
    /* Rounding: mid values are rounded up (down for negative values). */
    /* OR compare most significant bits i.e. if (((temp >> 31) & 1) == ((b >> 15) & 1)) */
    if ((temp >= 0 && b >= 0) || (temp < 0 && b < 0)) {   
        temp += b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp += (b >> 1); */
    } else {
        temp -= b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp -= (b >> 1); */
    }
    return (int16_t)(temp / b);
}

4 常见Q格式的数据范围

定点数\(X_q\)和浮点数\(X_f\)转换的关系满足以下公式:

\[\begin{cases} X_q = (int)X_f*2^n \\ \\ X_f = (float)X_f*2^{-n} \end{cases}\]

其中\(X_q\)\(Q_{m.n}\)m表示整数位数,n表示小数位数;

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#include <math.h>


int main()
{
    // 0111 1111 1111 1111
    int16_t q_max = 32767; // 0x7FFF
    // 1000 0000 0000 0000
    int16_t q_min = -32768; // 0x8000
    float f_max = 0;
    float f_min = 0;
    printf("\r\n");
    for (int8_t i = 15; i>=0; i--) {
        f_max = (float)q_max / pow(2,i);
        f_min = (float)q_min / pow(2,i);

        printf("\t| Q %d | Q %d.%d| %f | %f |\r\n",
               i,(15-i),i,f_max,f_min);
    }

    return 0;
}

运行得到结果如下所示;

Q 格式 Qmn Max Min
Q 15 Q 0.15 0.999969 -1.000000
Q 14 Q 1.14 1.999939 -2.000000
Q 13 Q 2.13 3.999878 -4.000000
Q 12 Q 3.12 7.999756 -8.000000
Q 11 Q 4.11 15.999512 -16.000000
Q 10 Q 5.10 31.999023 -32.000000
Q 9 Q 6.9 63.998047 -64.000000
Q 8 Q 7.8 127.996094 -128.000000
Q 7 Q 8.7 255.992188 -256.000000
Q 6 Q 9.6 511.984375 -512.000000
Q 5 Q 10.5 1023.968750 -1024.000000
Q 4 Q 11.4 2047.937500 -2048.000000
Q 3 Q 12.3 4095.875000 -4096.000000
Q 2 Q 13.2 8191.750000 -8192.000000
Q 1 Q 14.1 16383.500000 -16384.000000
Q 0 Q 15.0 32767.000000 -32768.000000

5 0x5f3759df

Q格式虽然十分抽象,但是且看看这个数字0x5f3759df,感觉和Q格式有某种联系,它是雷神之锤3中的一个算法的魔数,毕竟游戏引擎需要充分考虑到效率,具体的由来可以看一下论文《Fast Inverse Square Root》,下面是源码中剥出来的快速平方根算法;

float Q_rsqrt( float number )
{
	long i;
	float x2, y;
	const float threehalfs = 1.5F;

	x2 = number * 0.5F;
	y   = number;
	i   = * ( long * ) &y;   // evil floating point bit level hacking
	i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
	y   = * ( float * ) &i;
	y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
	// y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed

	#ifndef Q3_VM
	#ifdef __linux__
		 assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
	#endif
	#endif
	return y;
}  

6 总结

本文介绍了Q格式的表示方式以及相应的运算,另外需要注意在Q格式运算的时候,两者定标必须相同,对于数据的溢出检测也要做相应的处理。

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