【原创】【学数学】对于伽马函数x!的拟合   [复制链接]

前言:

  • 本文章的证明过程和部分图片来自:数学经典:伽玛函数的原理及发现
  • 什么是伽马函数?
    • 伽玛函数(Gamma函数),也叫欧拉第二积分,是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数,也叫第一类欧拉积分,可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

伽马函数的意义:

  • 在z∈N+时,Γ(z)=(z-1)!(z!=1*2*3*…*z)
  • 在z∈R+时:

伽马函数的推导:

  • 证明Γ(z+1)=zΓ(z)
  • 在等于1情况下,得到的结果是1:
  • 于是就得到任意数值的阶乘:
  • 于是著名的伽玛函数公式产生了,欧拉的猜测无疑是正确的:

现在,转到代码上:

  • 首先我们得先计算(x^n)*e^(-x)的值,再来考虑定积分:
  • 好了,下一步是什么呢,当然是要进行定积分操作了,代码如下:
  • 原理是这样的,简单的说,从0到正无穷的定积分相当于这条曲线和x轴围成的曲边梯形的面积(分正负,这里以x^5*e^(-x)举例),如图:
  • 代码中当然不能直接算曲边梯形面积,那么怎么办呢?不用担心,我们可以把这个曲边梯形无限细分为矩形(例子(在这里看来,细分的矩形还是不能完全占有该块曲边梯形,但是如果我们分隔得足够小的话,我们便可以进行近似代替):),那么我们就可以用底乘高来算每一个小部分的面积,再加起来就可以得到结果了。

结果show:

  • 对于1.5!的计算结果(看来我们此时代码对于Γ(z)的拟合已经比较不错了):
  • 已知问题:该方法计算量大,计算耗时特别高,在无穷大量处偏差较大,不过对于小量的计算是比较准确的,毕竟本帖的目的是学数学思想!

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伽马函数的拟合.e 系统核心支持库 5.3 d09f2340818511d396f6aaf844c7e325
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