深度优先搜索原理与实践(java)

概论

深度优先搜索属于图算法的一种,是一个针对图和树的遍历算法,英文缩写为 DFS 即 Depth First Search。深度优先搜索是图论中的经典算法,利用深度优先搜索算法可以产生目标图的相应拓扑排序表,利用拓扑排序表可以方便的解决很多相关的图论问题,如最大路径问题等等。一般用堆数据结构来辅助实现 DFS 算法。其过程简要来说是对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止,而且每个节点只能访问一次。

基本步奏

(1)对于下面的树而言,DFS 方法首先从根节点1开始,其搜索节点顺序是 1,2,3,4,5,6,7,8(假定左分枝和右分枝中优先选择左分枝)。

 
 

(2)从 stack 中访问栈顶的点;

 
 

(3)找出与此点邻接的且尚未遍历的点,进行标记,然后放入 stack 中,依次进行;

 
 

(4)如果此点没有尚未遍历的邻接点,则将此点从 stack 中弹出,再按照(3)依次进行;

 
 

 

(5) 由于与节点 5 相连的的节点都被访问过了,于是5被弹出,查找与 4 相邻但没有被访问过的节点:

 
 

(6)直到遍历完整个树,stack 里的元素都将弹出,最后栈为空,DFS 遍历完成。

 
(7)
针对上面的过程,可以用代码表示如下:

 // 用于记录某个节点是否访问过
   private
Map<String, Boolean> status = new HashMap<String, Boolean>();
  // 用于保存访问过程中的节点
private Stack<String> stack = new Stack<String>();
  // 入口,这里选择 1 为入口
public void DFSSearch(String startPoint) { stack.push(startPoint); status.put(startPoint, true); dfsLoop(); } private void dfsLoop() {
     // 到达终点,结束循环
if(stack.empty()){ return; } // 查看栈顶元素,但并不出栈 String stackTopPoint = stack.peek(); // 找出与此点邻接的且尚未遍历的点,进行标记,然后全部放入list中。 List<String> neighborPoints = graph.get(stackTopPoint); for (String point : neighborPoints) { if (!status.getOrDefault(point, false)) { //未被遍历 stack.push(point);
          // 加上已访问标记 status.put(point,
true); dfsLoop(); } }
     // 如果邻接点都被访问了,那么就弹出,相当于是恢复操作,也就是在递归后面做的。 String popPoint
= stack.pop(); System.out.println(popPoint); }

通过上面的示例,基本了解 dfs 使用。

通用框架

其一般框架原理如下:

void dfs()
{
    if(到达终点状态)
    {
        ... //根据题意添加 
        return; 
    }
    if(越界或不合法状态) return; 
    if(特殊状态) // 剪枝
         return;
    for(扩展方式)
    {
        if(扩张方式所到达状态合法)
        {
            修改操作; // 根据题意添加
            标记;
            dfs();
            (还原标记);
            //是否加上还原标记根据题意
            //如果加上还原标记就是回溯法 
        }
    }
}

通过这个 dfs 框架可以看出该方法主要有以下几个规律:

  1. 访问路径的确定。根据不同的题目思考怎么才算是一条访问路径,如何去实现遍历。

  2. 起点条件。从哪个点开始访问?是否每个点都需要当作起点?第一次 dfs 调用至关重要。

  3. 递归参数。也就是 dfs 递归怎么在上一个节点的基础上继续递归,实现递归依赖什么参数?需要知道一条路径上各个节点之间的关系,当前访问节点。

  4. 终结条件。访问的终结条件是什么?比如到达边界点,所有点已经都访问过了。终结条件需要在下一次递归前进行判断。

  5. 访问标志。当一条路走不通的时候,会返回上一个节点,尝试另一个节点。为了避免重复访问,需要对已经访问过的节点加上标记,避免重复访问。

  6. 剪枝。属于算法优化。比如已经知道沿着当前路径再走下去也不会满足条件的时候,提前终止递归。

下面将结合几道算法题来加深对深度优先搜索算法的理解。

1、全排列

问题:给定大于0的数字n,输出数字 1 ~ n 之间的全排列。

对于这道题目,有些人可能会好奇为啥这到题目可以使用 dfs 算法。对于全排列,其实可以通过树的形式来进行理解:

 可以发现就是一个 n 叉树,总共是 n 层,下面采用前面总结的规律来看看算法实现原理:

  1. 访问路径:从起始位置到叶节点就是一个排列,也就是一条路径

  2. 起点条件:start 下面有 n 个节点,每个点都可以被当作起始点,说明需要采用 for 循环方式,。

  3. 递归参数:当前访问的节点位置,定位下一个递归节点。需要一个变量记录数字的排列,需要输出。节点总数 n,便于知道何时递归结束。

  4. 终结条件:递归访问到节点数到达 n 层的时候停止递归。

  5. 访问标志:不需要,可重复访问;

  6. 剪枝:不需要,没有其他需要提前终止递归的条件。

下面就是算法实现:

     // 调用入口,起始点
   dfs(total, 0, "");
   // 递归参数:tatal 表示数字n, index 当前访问节点,s 记录排列方式
public void dfs(int total, int index, String s) {
     // 终结条件
if (index == total) { System.out.println(s); return; }
     // 对于每个节点,当前有 total 种选择
for (int i= 1;i<=total;i++) { dfs(total, index+1, s+i); } }

可以发现,代码还是很简单的。

 

695. 岛屿的最大面积

给定一个包含了一些 0 和 1 的非空二维数组 grid 。

一个 岛屿 是由一些相邻的 1 (代表土地) 构成的组合,这里的「相邻」要求两个 1 必须在水平或者竖直方向上相邻。你可以假设 grid 的四个边缘都被 0(代表水)包围着。

找到给定的二维数组中最大的岛屿面积。(如果没有岛屿,则返回面积为 0 。)

示例 1:

[[0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0],
[0,1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0],
[0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0],
[0,1,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,0],
[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],
[0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0],
[0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0]]

对于上面这个给定矩阵应返回 6。注意答案不应该是 11 ,因为岛屿只能包含水平或垂直的四个方向的 1 。

示例 2:

[[0,0,0,0,0,0,0,0]]

对于上面这个给定的矩阵, 返回 0。

注意: 给定的矩阵grid 的长度和宽度都不超过 50。

 对于这道题目还是采用之前的分析方式:

  1. 访问路径:节点中相邻的1构成一条路径。0 直接无视。

  2. 起点条件:二维数组的每个点都可以当作起点。所以两个 for 循环来进行调用。

  3. 递归参数:当前访问的节点位置(x,y),二维数组表,从表中查找下一个节点

  4. 终结条件:到达二维数组的边界,节点为0

  5. 访问标志:需要,不可重复访问;可以将访问过的节点置为0,避免再次访问,重复计算。

  6. 剪枝:只有在节点等于1的时候,才调用dfs。这样可以减少调用次数。

题目解答如下:

class Solution {
    public int maxAreaOfIsland(int[][] grid) {
        if (grid == null || grid.length <1 || grid[0].length<1) {
            return 0;
        }
        int rx = grid.length;
        int cy = grid[0].length;
        int max = 0;
        for (int x =0; x< rx; x++) {
            for (int y= 0;y<cy; y++) {
                if (grid[x][y]==1) { //只有节点等于1才调用,这里就可以算作是剪枝,算法的优化 int num = dfs(grid,x,y);
                   max = Math.max(max, num);
                }
            }
        }
        return max;

    }
   // 递归参数:节点位置x,y, 二维数组 private int  dfs (int[][] grid, int x, int y){
        int rx = grid.length;
        int cy = grid[0].length;
     // 边界条件,节点为0
if (x >= rx || x < 0 || y>=cy || y<0 || grid[x][y]==0 ) { return 0; }
     // 直接修改原数组来标记已访问 grid[x][y]
=0;
     // 每次递归就表示面积多了一块
int num = 1;
     // 每个节点有四种不同的选择方向 num
+= dfs(grid, x-1, y); num += dfs(grid, x, y-1); num += dfs(grid, x+1, y); num += dfs(grid, x, y+1); return num; } }

200. 岛屿数量

给你一个由 ‘1’(陆地)和 ‘0’(水)组成的的二维网格,请你计算网格中岛屿的数量。

岛屿总是被水包围,并且每座岛屿只能由水平方向或竖直方向上相邻的陆地连接形成。

此外,你可以假设该网格的四条边均被水包围。

示例 1:

// 输入:
11110
11010
11000
00000
// 输出: 1

示例 2:

// 输入:
11000
11000
00100
00011
// 输出: 3

解释: 每座岛屿只能由水平和/或竖直方向上相邻的陆地连接而成。

可以发现,这道题目与前面的题目很类似,关于 dfs 规则这里就不在分析了,留给大家自己去分析。

题目解答如下:

class Solution {
    public int numIslands(char[][] grid) {
        if (grid == null || grid.length < 1 || grid[0].length<1) {
            return 0;
        }
        int num = 0;
        int rx = grid.length;
        int cy = grid[0].length;
     // 起始点
for (int x =0;x<rx;x++) { for (int y =0;y<cy;y++) {
          // 题目要求,'0'不符合路径条件
if (grid[x][y]=='1') { dfs(grid,x,y); num++; } } } return num; }    // 递归条件 private void dfs(char[][] grid, int x, int y) { int rx = grid.length; int cy = grid[0].length;
     // 终结条件
if (x<0 || x>=rx || y<0 || y>= cy || grid[x][y] == '0') { return; }
     // 访问方向实质是由访问路径来决定的,就是你得想清楚怎么才算一条路径 grid[x][y]
='0'; dfs(grid,x-1,y); dfs(grid,x,y-1); dfs(grid,x+1,y); dfs(grid,x,y+1); return ; } }

到这里,深度优先搜索的理论和实践就讲完了,相信看到这里的小伙伴应该也掌握了其算法的原理,以及如何去书写。

 

参考文章 

基本算法——深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)

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THE END
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